Přihlášení





Registrace
Zapomenuté heslo

Trojúhelníky

Pokud existují 3 body neležící na jedné přímce (tzv. nekolineární body), můžeme sestrojit trojúhelník a dané body považovat za jeho vrcholy. Každý trojúhelník má 3 vrcholy, 3 strany a 3 vnitřních úhly.


Pro sestrojitelnost trojúhelníku platí tzv. trojúhelníková nerovnost. Ta nám říká, že v každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou jeho stran větší než délka strany třetí (tzn. a + b > c, b + c > a, a + c > b).


Součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníku je úhel přímý (180°).


Pozn. V následujícím textu je uváděno označení trojúhelníku ABC, toto označení je pouze ilustrativní. Pro zkrácený zápis trojúhelníku se užívá symbolu Δ, tj. trojúhelník ABC zapíšeme ΔABC. Trojúhelník může být označen libovolnými písmeny, např. ΔKLM, ΔXYZ, ...


Značení trojúhelníků

Vrcholy trojúhelníku zpravidla označujeme velkými tiskacími písmeny (A, B, C, …). Vrcholy zvýrazněné puntíky na obr. 1 jsou pouze ilustrační.


Strany popisujeme malými písmeny (a, b, c, …), kde pojmenování strany odpovídá protilehlému vrcholu.


Strany můžeme zadávat i dvěma body jako zápis úsečky (strana AB je stejné označení pro stranu c v trojúhelníku ABC). Strana AB je protilehlá vrcholu C, proto ji označíme c.


Úhly obvykle značíme malými písmeny řecké abecedy (α, β, γ,…). Úhel též můžeme vyjádřit zápisem pomocí tří bodů, pak např. ∢ABC odpovídá úhlu β.


značení trojúhelníku
Obr. 1: Značení trojúhelníku


Rozdělení trojúhelníků

Trojúhelníky rozdělujeme podle délek stran nebo podle velikostí vnitřních úhlů.

  1. Podle délek stran

    Podle velikostí stran můžeme trojúhelníky rozdělit na tři základní typy:

    1. Obecný trojúhelník (různostranný) – jeho všechny strany jsou různě dlouhé a stejně tak i všechny jeho vnitřní úhly jsou různě velké. Platí pro něj tedy obecná pravidla, např. jako součet vnitřních úhlů, apod.

      obecný trojúhelník
      Obr. 2: Obecný trojúhelník


    2. Rovnoramenný trojúhelník – má dvě strany stejně dlouhé, ty se nazývají se ramena, třetí strana má jinou délku a říkáme jí základna. Rovnoramenný trojúhelník má úhly přilehlé k základně vždy shodné.

      rovnoramenný trojúhelník
      Obr. 3: Rovnoramenný trojúhelník


    3. Rovnostranný trojúhelník – všechny jeho strany jsou stejně dlouhé a všechny jeho vnitřní úhly jsou stejně velké, tj. mají velikost 60°.

      rovnostranný trojúhelník
      Obr. 4: Rovnostranný trojúhelník


  2. Podle velikostí vnitřních úhlů

    Podle velikostí vnitřních úhlů můžeme trojúhelníky rozdělit na tři základní typy:

    1. Ostroúhlý trojúhelník – všechny jeho vnitřní úhly jsou ostré (tj. menší než 90°, viz obr. 5)

      ostroúhlýtrojúhelník
      Obr. 5: Ostroúhlý trojúhelník


    2. Pravoúhlý trojúhelník – jeden z jeho vnitřních úhlů je pravý (viz β = 90° na obr. 6), zbylé dva úhly jsou ostré. Stranám, které tvoří ramena pravého úhlu, říkáme odvěsny, strana ležící naproti pravému úhlu se nazývá přepona.

      pravoúhlý trojúhelník
      Obr. 6: Pravoúhlý trojúhelník


    3. Tupoúhlý trojúhelník – má jeden svůj vnitřní úhel tupý (viz γ > 90° na obr. 7), zbývající dva vnitřní úhly jsou ostré.

      tupoúhlý trojúhelník
      Obr. 7: Tupoúhlý trojúhelník


Konstrukce trojúhelníku

Konstrukce trojúhelníku provádíme pomocí pravítka, kružítka a úhloměru. Existují tři základní typy konstrukcí trojúhelníku. Jednotlivé typy jsou nazývány pomocí zkratek, kdy S značí stranu a U vnitřní úhel trojúhelníku.


  1. Věta SSS – jsou zadány délky všech tří stran trojúhelníku.
  2. Příklad zadání trojúhelníku dle SSS
    Obr. 8: Příklad zadání trojúhelníku dle SSS


    1) c; c = |AB|

    2) k; k = (A, r = |AC|)

    3) l; l = (B, r = |BC|)

    4) C; Ckl

    5) ∆ABC


  3. Věta SUS – jsou dány dvě strany trojúhelníku a velikost úhlu jimi sevřeného.
  4. Příklad zadání trojúhelníku dle SUS
    Obr. 9: Příklad zadání trojúhelníku dle SUS


    1) c; c = |AB|

    2) β; β = |∢ABX|)

    3) k; k = (B, r = |BC|)

    4) C; C ∈ ⟼BX k

    5) ∆ABC


  5. Věta USU – je zadána délka jedné strany trojúhelníku a velikost obou jí přilehlých úhlů.
  6. Příklad zadání trojúhelníku dle USU
    Obr. 10: Příklad zadání trojúhelníku dle USU


    1) c; c = |AB|

    2) α = |∢BAX|)

    3) β; β = |∢ABY|)

    4) C; ∈ ⟼AX ∩ ⟼BY

    5) ∆ABC


Výšky trojúhelníku

Výška trojúhelníku označuje v trojúhelníku úsečku i její délku. Výšku trojúhelníku chápeme jako vzdálenost vrcholu trojúhelníku od přímky, na které leží příslušná protilehlá strana. Protože má trojúhelník tři strany i tři vrcholy, můžeme sestrojit i tři výšky. Výšku značíme malým písmenem v a dolním indexem názvu strany, ke které je příslušná výška kolmá. Průsečík výšek značíme O a nazýváme ho ortocentrum. Průsečík výšky a strany nazýváme pata výšky, značíme ho P s indexem názvu strany.


výšky trojúhelníku
Obr. 11: Výšky trojúhelníku


Průsečík tří výšek v ostroúhlém trojúhelníku leží uvnitř tohoto trojúhelníku (viz obrázek výše).


Průsečík přímek, na nichž leží výšky v tupoúhlém trojúhelníku, se nachází vně tohoto trojúhelníku.


výšky tupoúhlého trojúhelníku
Obr. 12: Výšky tupoúhlého trojúhelníku


Průsečík výšek v pravoúhlém trojúhelníku splývá s vrcholem při pravém úhlu.

výšky pravoúhlého trojúhelníku
Obr. 13: Výšky pravoúhlého trojúhelníku


Výšky v rovnostranném trojúhelníku leží na osách jeho stran i vnitřních úhlů (viz obr.16).


Výška k základně v rovnoramenném trojúhelníku dělí trojúhelník na dvě shodné (zrcadlově převrácené) části.


výšky rovnoramenného trojúhelníku
Obr. 14: Výšky rovnoramenného trojúhelníku


Těžnice trojúhelníku

Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protilehlé strany. Protože má trojúhelník tři strany i tři vrcholy, můžeme sestrojit i tři těžnice. Těžnici značíme malým písmenem t a dolním indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří. Průsečík těžnic značíme T a nazýváme ho těžiště. Tento bod dělí těžnice v poměru 1:2 tak, že delší úsek těžnice leží vždy u vrcholu (tzn. úsek od vrcholu jsou vždy 2/3 celkové délky těžnice neboli vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníku je dvakrát větší, než je vzdálenost těžiště od středu protilehlé strany).


těžnice trojúhelníku
Obr. 15: Těžnice trojúhelníku


V rovnostranném trojúhelníku leží těžnice na osách jeho stran i úhlů. V rovnostranném trojúhelníku toto platí i pro výšky a tudíž těžnice a výšky jsou v tomto trojúhelníku totožné (tava, tbvb, tcvc). Totožné jsou též těžiště a ortocentrum trojúhelníku (TO).


těžnice a výšky rovnostranného trojúhelníku
Obr. 16: Těžnice a výšky rovnostranného trojúhelníku


Kružnice opsaná trojúhelníku

Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku. Její střed So nalezneme jako průsečík os stran trojúhelníku. Strany trojúhelníku jsou tětivami kružnice trojúhelníku opsané.


Kružnice opsaná trojúhelníku
Obr. 17: Kružnice opsaná trojúhelníku


Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku se nazývá Thaletova kružnice. Střed Thaletovy kružnice leží ve středu přepony trojúhelníku (obr. 18).


Pro každou úsečku AB platí, že Thaletova kružnice sestrojená nad průměrem AB (s vyjmutím bodů A a B) je množinou vrcholů C všech pravoúhlých trojúhelníků ABC s přeponou AB. Vrchol C, který náleží Thaletově kružnici je vrcholem pravého úhlu trojúhelníku ABC.


Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku – Thaletova kružnice
Obr. 18: Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku – Thaletova kružnice


Střed kružnice opsané tupoúhlému trojúhelníku leží vně trojúhelníku (obr. 19).


Kružnice opsaná tupoúhlému trojúhelníku
Obr. 19: Kružnice opsaná tupoúhlému trojúhelníku


Kružnice trojúhelníku vepsaná

Kružnice trojúhelníku vepsaná je taková kružnice, která se vně dotýká všech stran trojúhelníku. Její střed Sv nalezneme jako průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku. Poloměr kružnice vepsané leží na kolmici vedené středem Sv k libovolné straně trojúhelníku. Poloměr je totožný s délkou úsečky Sv T, kde T je pata kolmice spuštěné ze středu Sv ke straně trojúhelníku. Strany trojúhelníku jsou tečnami kružnice trojúhelníku vepsané.


Kružnice vepsaná trojúhelníku
Obr. 20: Kružnice vepsaná trojúhelníku


Pozn. Trojúhelník je příkladem tečnového i tětivového mnohoúhelníku.

Copyright © 2014 Radka Szillerová