Osová souměrnost

Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které „překlápí vzory přes osu“. Osovou souměrností vznikne tedy obraz, který je shodný se vzorem (co se týče tvaru a velikosti) a převrácený ve směru kolmém na osu. Původní obrazec nazýváme vzor a osově souměrný objekt pak pojmenováváme obraz. Označení obrazů odlišujeme od vzorů užitím čárky, např. bod A (vzor) a bod A' (obraz bodu A). Přímku, přes kterou se vzor „překlápí“, nazýváme osa souměrnosti. Geometrický útvar a jeho obraz v osové souměrnosti jsou nepřímo shodné (tj. říkáme, že jsou stranově převrácené).

Obr. 1: Popis objektů v osové souměrnosti

Konstrukce základních objektů

Osově souměrným bodem A' k bodu A rozumíme takový bod, který leží na přímce procházející bodem A kolmo k ose souměrnosti, v opačné polorovině (s hraniční přímkou v ose souměrnosti o) než bod A a ve stejné vzdálenosti od osy souměrnosti o jako bod A. Obraz A' zadaného bodu A tedy sestrojíme tak, že bodem A vedeme kolmici k ose o. Průsečík osy a kolmice označíme P a říkáme mu pata kolmice. Poté přeneseme vzdálenost bodu A od bodu P na opačnou polopřímku od bodu P, tj. |AP| = |PA'|. Tím vznikne obraz A'.

Všechny body osy souměrnosti zůstávají v daném zobrazení na místě (tj. zobrazí se samy na sebe). Takové body nazýváme samodružné body (viz bod B≡B' na obr. 2).

Obr. 2: Zobrazení bodů v osové souměrnosti

Zobrazíme-li v osové souměrnosti úsečku, zobrazí se jako úsečka o stejné délce. Jestliže je úsečka rovnoběžná s osou souměrnosti, je i její obraz rovnoběžný s osou. Leží-li na ose souměrnosti, zobrazí se sama na sebe. Pokud je různoběžná s osou souměrnosti, zobrazí se jako zrcadlově převrácená podle osy souměrnosti. Obraz úsečky zobrazíme tak, že sestrojíme obrazy jejích krajních bodů, které pak spojíme. Analogickým způsobem můžeme sestrojit i osově souměrné obrazy útvarů. Každá přímka je také určena dvěma body, proto k sestrojení jejího osově souměrného obrazu opět stačí sestrojit obrazy dvou bodů ležících na přímce.

Samodružným bodem nazveme bod náležící ose souměrnosti, v němž jediném se protíná vzor i obraz daného objektu (přímky, polopřímky či úsečky).

Obr. 3: Zobrazení úsečky a přímky v osové souměrnosti

Kružnice, jejíž střed leží na ose souměrnosti, se zobrazí sama na sebe (kružnice l na obr. 4). Pokud střed kružnice leží mimo osu souměrnosti, stačí sestrojit osově souměrný obraz středu kružnice a vyrýsovat kružnici se středem v sestrojeném obrazu a o poloměru rovném poloměru původní kružnice k.

Obr. 4: Zobrazení kružnice v osové souměrnosti

K sestrojení obrazu jakéhokoli rovinného útvaru v osové souměrnosti musíme umět sestrojit obraz každého bodu útvaru.

Osově souměrné útvary

Osově souměrný útvar je možné přímkou rozdělit na dvě shodné části. Po překlopení jedné části podle této přímky na druhou se obě části kryjí. Tato přímka je osou souměrnosti daného útvaru. V takovýchto případech se osa souměrnosti většinou značí čerchovanou čarou. Pokud je útvar osově souměrný, nemusí mít pouze jednu osu souměrnosti. Osově souměrný útvar může mít konečný počet os souměrností, anebo může mít i nekonečně mnoho os souměrnosti (viz kružnice na obr. 5). Ne každý útvar má osu souměrnosti, tj. ne každý rovinný útvar je osově souměrný (viz např. spirála na obr. 5)

Obr. 5: Osově nesouměrný útvar a osově souměrné útvary

Nalezení osy souměrnosti

Osu souměrnosti můžeme hledat, pokud známe vzor i obraz (původní a osově souměrný útvar). Využíváme k tomu sestrojení osy úsečky nebo osy úhlu.

Spojením vzoru bodu a jeho obrazu vznikne úsečka. Po té opíšeme kolem krajních bodů kružnice o stejném poloměru tak, aby vznikly 2 průsečíky. Průsečíky určují osu osové souměrnosti.

Obr. 6: Osa úsečky

Jedno rameno úhlu musí tvořit objekt vzoru a druhé objekt obrazu. Osu úhlu sestrojíme tak, že z vrcholu úhlu narýsujeme libovolnou kružnici. Tam, kde protne kružnice ramena úhlu, dostaneme body X a Y. Nyní použijeme stejný postup jako při hledání osy úsečky. Sestrojená osa úsečky XY je současně i osou úhlu.

Obr. 7: Osa úhlu