Kružnice
Kružnice je křivka, jejíž body mají od daného bodu (středu kružnice) konstantní vzdálenost. Tuto vzdálenost nazýváme poloměr kružnice a značíme ho r.
Střed kružnice značíme S, pro zpřesnění popřípadě uvádíme u označení středu název kružnice v podobě dolního indexu. Kružnici obvykle značíme malými písmeny, např. k nebo l. Potom střed kružnice k označíme Sk, ale střed ke kružnici nepatří.
Obr. 1: Značení kružnice
Vzájemná poloha kružnice a přímky
V rovině mohou nastat tři různé vzájemné polohy kružnice k a přímky p. Rozlišujeme je podle toho, jakou vzdálenost v má přímka od středu kružnice a jaký je poloměr r kružnice nebo kolik společných bodů má kružnice s přímkou. Mohou nastat tyto případy:
- v < r, přímka p má s kružnicí k dva různé společné body. Přímku nazýváme sečna.
- v = r, přímka p má s kružnicí pouze jediný společný bod P. Přímku nazveme tečna. Bod P je bod dotyku. Tečna kružnice je kolmá k poloměru sestrojenému v dotykovém bodě.
- v > r, přímka p nemá s kružnicí k žádný společný bod. Přímku nazýváme nesečna.
Obr. 2: Sečna, tečna, nesečna
Pozn. Jestliže má přímka p s kružnicí k dva různé společné body, říkáme, že ji v těchto bodech protíná; má-li společný jen jeden bod, pak se jí v tomto bodě dotýká.
Přímka může mít s kružnicí nejvýše dva různé společné body.
Jsou-li A, B dva různé body kružnice k, pak úsečka AB (část sečny) se jmenuje tětiva kružnice. Jestliže střed S kružnice leží na úsečce AB, pak je tato tětiva nejdelší možná a nazýváme ji průměr. Krajní body průměru nazýváme protějšími body kružnice. Velikost průměru značíme zpravidla d a platí d = 2r.
Obr. 3: Tětiva, průměr
Vzájemná poloha dvou kružnic
V rovině mohou nastat různé vzájemné polohy kružnice k(Sk, rk) ke kružnici l(Sl, rl). Rozlišujeme je podle toho, jakou vzdálenost s = |SkSl | mají středy kružnic s = |SkSl |.
Obr. 4: Značení vzájemné polohy dvou kružnic
- s = 0; kružnice, jejichž středy jsou totožné, tedy Sk ≡ Sl, nazýváme soustředné.
- Jestliže rk ≠ rl, pak tyto kružnice nemají žádný společný bod.
- Jestliže rk = rl, pak tyto kružnice mají nekonečně mnoho společných bodů a jsou totožné.
- s ≠ 0; kružnice, jejichž středy nejsou totožné, tedy Sk ≢ Sl, nazýváme nesoustředné
Obr. 5: Soustředné kružnice
Obr. 6: Totožné kružnice
U nesoustředných kružnic, kde rk ≥ rl, mohou nastat další polohy, z nichž pak vyplývá, kolik mají kružnice společných bodů. Mohou nastat tyto případy:
- kružnice leží „vně sebe“, s > rk + rl – každý bod kružnice k leží vně kružnice l a každý bod kružnice l leží vně kružnice k (tj.kružnice nemají žádný společný bod).
- jedna kružnice leží uvnitř druhé kružnice, 0 < s < |rk - rl| nastane pouze pokud rk ≠ rl – na obr. 8 viz pro rk > rl, tj. všechny body kružnice l leží uvnitř kružnice k a všechny body kružnice k leží vně kružnice l (kružnice nemají tedy žádný společný bod).
- kružnice se dotýkají vně (mají vnější dotyk pro s = rk + rl) – když mají společný jediný bod T, který leží na úsečce SkSl, kdežto ostatní body kružnice k leží vně kružnice l a ostatní body kružnice l leží vně kružnice k
- kružnice l se dotýká kružnice k zevnitř (kružnice mají vnitřní/vnější dotyk pro s = |rk - rl|), tento případ nastane pouze pokud rk ≠ rl – tj. tehdy, když mají společný jediný bod T, který leží na prodloužení úsečky SkSl, přičemž ostatní body kružnice l leží uvnitř kružnice k.
- kružnice se protínají, |rk - rl| < s < rk + rl, když mají dva různé společné body, tj. průsečíky A, B. Přímka AB se nazývá společná sečna obou kružnic.
Obr. 7: Nesoustředné kružnice – vně sebe
Obr. 8: Nesoustředné kružnice – jedna uvnitř druhé
Obr. 9: Nesoustředné kružnice – vnější dotyk
Obr. 10: Nesoustředné kružnice – vnitřní/vnější dotyk
Obr. 11: Nesoustředné kružnice – protnutí
Pozn. Bod dotyku je bod, ve kterém se dvě kružnice dotýkají. Průsečík je bod, ve kterém se dvě kružnice protínají. Dvě kružnice mohou mít nejvýše dva různé společné body.
Copyright © 2014 Radka Szillerová